Question

已知椭圆C的中心是坐标原点,短轴长为2,一条准线方程为L:X=2，设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，

点M是直线l上的动点，过点F做OM的垂线与OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值

Answer 1

解：设椭圆的方程为
x２/a２ y２/b２=1…………………①
由题意得直线L过点F，故其方程为
y=x-c …………② 由①②联立得方程：
（a２ b２）x２—2a２x a２c２—a２b２=0……………③ （a２ b２）y２—2b２y b２c２—a２b２=0……………④ 设直线L与椭圆的交点分别为为A（x1,y1）B（x2,y2），其中点为M（x1 x2，y1 y2）（如图所示） 则由③④得
x1 x2=
2a２/(a２ b２)

y1 y2=—2b２/(a２ b２) 故直线OM的斜率为K=(y1 y2)/(x1 x2)=—b２/a２ （2）由椭圆的一条准线的方程为x=4得a２/c=4⑤ 如上图所示，过点M作水平直线MN交A于点N 则 角a为∠OMA
由直线L的斜率为1得∠AMN=45° 设∠OMN=b tana=tan(b 45°)=(1 tanb)/(1-tanb)=7 解得tanb=3/4 而K=tan∠OMP=-tanb=-3/4 故有-b２/a２=-3/4⑥ 且由椭圆的性质得a２=b２ c２⑦ 联立⑤⑥⑦得

a２=4

b２=3 故椭圆的方程为

x２/4 y２/3=1