已知锐角α,β满足3tanα=tan(α+β)则tanβ最大值
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解：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=3tanα；
故得tanα+tanβ=3tanα-3tan²αtanβ；
(1+3tan²α)tanβ=2tanα
故tanβ=2tanα/(1+3tan²α)
设y=tanβ，x=tanα，则有y=2x/(1+3x²)；(x>0)
求导
y`=(2-6x²)/(1+3x²)²
6x²=2时有极大值
x=√3/3
ymax=2x/(1+3x²)=√3/3
tanβ最大值=√3/3
故得tanα+tanβ=3tanα-3tan²αtanβ；
(1+3tan²α)tanβ=2tanα
故tanβ=2tanα/(1+3tan²α)
设y=tanβ，x=tanα，则有y=2x/(1+3x²)；(x>0)
求导
y`=(2-6x²)/(1+3x²)²
6x²=2时有极大值
x=√3/3
ymax=2x/(1+3x²)=√3/3
tanβ最大值=√3/3
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所以最大值为√3/3
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