Question

如图 在三角形ABC中 AB=AC AD垂直BC于D，AE是角FAC的平分线 DE平行AB 交AE于E 求证 四边形ABCD是矩形

Answer 1

首先更正一下:求证 四边形AECD是矩形. 证明:∵AB=AC ∴∠1=∠2 ∵ ∠FAC =∠3+∠4=∠1+∠ 2 (∠3=∠4) ∴ ∠2=∠4 ∴AE∥BC ∵DE∥AB(已知) ∴AE=BD 在等腰△ABC中:AD垂直BC于D,∴BD=DC ∴AE=DC 在四边形ABCD中:对边平行且相等,∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AD∥DC,AD∥AE, ∴四边形ABCD是矩形.

Answer 2

AD和AE分别是∠BAC、∠CAF的平分线，
∴∠DAE=∠4+∠DAC=1/2(∠BAC+∠CAF)=90°
且AE⊥AD,BC⊥AD,所以AE//BC
又DE//AB
∴AEDB是平行四边形（平行四边形的定义）
AE=BD(平行四边形对边相等）
又知AB=AC,故ΔABC是等腰三角形，而AD是其底边上的高
∴BD=DC,
∴AE=DC
∵AE//DC且AE=DC
∴AECD是平行四边形
又∠DAE=90°
∴AECD是矩形（一个角是直角的平行四边形为矩形）

Answer 3

AB=AC，AD⊥BC于D，所以AD也是角平分线。
AE是∠FAC的平分线， ∴∠DAE=90°，
又AB∥DE，AE平行BD，∴ABDE平行四边形, AE=BD
又 BD=CD，所以 AE=CD。
所以得证