Question

已知函数f（x）=2sin（x-兀/6）cosx+2cos^2x。求（1）f（x）的单调递增区间（2

已知函数f（x）=2sin（x-兀/6）cosx+2cos^2x。求（1）f（x）的单调递增区间（2）设兀/4<a<兀/2，且f（a）=13/10，求sin2a的值

Answer 1

（1）f（x）=2sin（x-π/6）cosx+2cos^2x=（√3sinx-cosx）cosx+2cosxcosx
=（√3sinx+cosx）cosx=√3/2sin2x+1/2cos2x+1/2
=sin（2x+π/6）+1/2
令2kπ-π/2<=2x+π/6<=2kπ+π/2 (k是整数)
得到kπ-π/3<=x<=kπ+π/6 (k是整数)
所以f（x）的单调递增区间是[kπ-π/3,kπ+π/6] (k是整数)
（2）π/4<a<π/2 故2a属于（π/2，π）
f（a）=3/10 所以sin（2a+π/6）+1/2=13/10
得到sin（2a+π/6）=4/5
故cos（2a+π/6）=-3/5
所以sin2a=sin（2a+π/6-π/6）=sin（2a+π/6）cosπ/6-cos（2a+π/6）sinπ/6
=4/5*√3/2+3/5*1/2=（4√3+3）/10