Question

已知函数f（x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1，x2，且x1∈【-2，-1】，x2∈【1,2】，则f（1）的取值范围是

Answer 1

解：f`(x)=3x^2+4bx+c 对称轴为x=-2b/3 因为x1∈【-2，-1】，x2∈【1,2】， 则 对称轴为x大于等 于-1/2，小于等于1/2， 则b大于等于-3/4或小于等于3/4（也可用韦达定理） 再由抛物线图像可知，当x1=-2,x2=2时，c有最小值为-12 当x1=-1,x2=1时，c有最大值为-3 f(1)=2b+c+2,再由线性图形可知.当b=3/4 ,c=-3时，有最大值为0.5 当b=-3/4,c=-12时，有最小值为11.5

Answer 2

f'(x)=2x^2+4bx+c
由题意可得：f'(-2)>=0,f'(-1)<=0,f'(1)<=0,f'(2)>=0
即c+12-8b>=0,c+3-4b<=0,c+3+4b<=0,c+8b+12>=0
以b为横轴，c为纵轴做出可行域：

f(-1)=2b-c
当直线f(-1)=2b-c经过(0,-12)时，f(-1)取到最大值12；经过（0，-3）时，取到最小值3