Question

在△ABC中,a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,若a=2,c=π/4,cos(B/2)=2√5/5,求△ABC的面积S

在△ABC中,a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a=2,c=π/4,cos(B/2)=2√5/5，求△ABC的面积S
面积可以是π/5?参考答案是8/7

Answer 1

在三角形中,0度<B<180度.
那么，0度<B/2<90度.
因为cos(B/2)=2√5/5.
所以，sin(B/2)=√[1-cos(B/2)^2]=√5/5.
而，sinB=2sin(B/2)cos(B/2)=4/5.
那么，三角形ABC的面积S=1/2*a*c*sinB=1/2*2*(π/4)*(4/5)=π/5.

Answer 2

先用2倍角公式
cosB=2(cosB/2)^2-1
=2*(2√5/5)^2-1
=3/5
(sinB)^2=1-(cosB)^2
=16/25
sinB=4/5

C=π/4 所以sinC=√2/2

a/sinB=C/sinC
a=2,sinB=4/5,sinC=√2/2所以c=5√2/4

S=1/2*a*c*sinB
=√2