Question

在数列{an}中，a1=1an+1=an/3an+1，n=123.......(I)计算a2a3a4

在数列{an}中，a1=1an+1=an/3an+1，n=123.......(I)计算a2a3a4的值(II)猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明

Answer 1

a2=a1/(3a1+1)=1/(3×1+1)=1/4
a3=a2/(3a2+1)=(1/4)/[3×(1/4)+1]=1/7
a4=a3/(3a3+1)=(1/7)/[3×(1/7)+1]=1/10
a1=1=1/(3×1-2) a2=1/4=1/(3×2-2) a3=1/7=1/(3×3-2) a4=1/10=1/(3×4-2)
猜想：an=1/(3n-2)
证：
n=1时，a1=1=1/(3×1-2)，表达式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，表达式成立，即ak=1/(3k-2)，则当n=k+1时，
a(k+1)=ak/(3ak +1)
=[1/(3k-2)]/[3/(3k-2) +1]
=1/[3+(3k-2)]
=1/(3k+1)
=1/[3(k+1)-2]，表达式同样成立，k为任意正整数，因此对于任意正整数n，表达式恒成立。
{an}的通项公式为an=1/(3n-2)