Question

用数学归纳法证明，对于任意大于1的正整数n，不等式1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<n-1/n都成立

Answer 1

n=2时，1/2^2=1/4<2-1/2=3/2，原式成立；
n=3时，1/2^2+1/3^2=13/36<3-1/3=8/3=96/36，原式成立；

设n=k时，1/2^2+1/3^2+……+1/k^2<k-1/k 成立，
则n=k+1时，1/2^2+1/3^2+……+1/k^2+1/(k+1)<k-1/k+1/(k+1)
=(k+1)-1-1/k+1/(k+1)=(k+1)-(k^2+k+1)/[k(k+1)]<(k+1)-k/[k(k+1)]=(k+1)-1/(k+1)，
原式仍然成立；
所以，对于任意的n>=2，
不等式1/2^2+1/3^2+……+1/n^2<n-1/n 成立。