Question

初中数学难题

请用初中知识解答

Answer 1

解：延长AD至F使得ABFC四点共圆，连接CF。则∠AFB=∠ACB，又∠BEF=∠BAC，
得∠EBF=∠ABC，即EB=EF。设∠CAF=b，则∠BAF=a-b，∠ABE=∠BEF-∠BAF=a-(a-b)=b。
由△ABD的面积:△ACD的面积=BD:DC=k，再由三角形面积公式可知
(AB*AD*sin(a-b)/2):(AC*AD*sinb/2)=k，而AB=AC，所以sin(a-b):sinb=k，再展开sin(a-b)，得
sinacosb-sinbcosa=ksinb，从而知tanb=sina/(k+cosa)。
考虑在△ACF中，∠AFC=∠ABC=(π-a)/2，所以∠ACF=π-b-(π-a)/2=(π+a-2b)/2。
设∠CEF=x，则∠FCE=π-x-(π-a)/2=(π+a-2x)/2，则由正弦定理可得
CF:EF=sinx:sin((π+a-2x)/2)=sinx:cos(x-a/2).........①
CF:AF=sinb:sin((π+a-2b)/2)=sinb:cos(b-a/2).........②
又FE:EA=BE:EA=sin∠BAF:sin∠ABE=sin(a-b):sinb=k，所以FE:AF=k:(k+1)。再结合①，②便可得
ksinx:cos(x-a/2)=(k+1) sinb:cos(b-a/2)，即ksinxcos(b-a/2)=(k+1)sinbcos(x-a/2)，
再展开cos(x-a/2)和cos(b-a/2)，并两边同除以cosbcosx，便可得
ktanx(cos(a/2)+tanbsin(a/2))=(k+1)tanb(cos(a/2)+tanxsin(a/2))，由此可解得
tanx=[(k+1)tanbcos(a/2)]/[kcos(a/2)-tanbsin(a/2)]
再带入tanb=sina/(k+cosa)，并将分子分母同时约掉cos(a/2)/(k+cosa)，即可得
tanx=(k+1)sina/(k(k+cosa)-2sin²(a/2))，再利用2sin²(a/2)=1-cosa,带入便得
tanx=(k+1)sina/(k²-1+(k+1)cosa)=sina/(k-1+cosa)

个人感觉这个初中解不了

追问

这是初三模拟试题

Answer 2

初中知识可解

 

Answer 3

咳咳，这里初三的，表示这道题做过……