Question

f(x)在负无穷到正无穷上以T为周期，且连续，能不能推出f(x)一定有界？

Answer 1

可以，因为是T为周期。所以我们只需要考虑[0，T]这个区间。因为f（x）在[0，T]连续，所以f（x）在[0，T]上没有无限大的点，都是有限值。因为f（x）在实数范围内连续。所以在x=0和x=T这两个端点处也是有限值。所以就能在[0，T]上求得最大值和最小值。那么函数在[0，T]上是有界的。而函数是以T为周期。所以函数在实数上是有界的。

追问

如果换成，只在开区间(0，T)上连续呢？那就不能推出吧？

追答

开区间(0，T)上连续，不能得出函数有界。因为可以在趋近端点处，函数值趋近于无穷大。这样在端点处就不连续，函数就是无界的。但是你是开区间内连续，所以端点不连续符合开区间连续的要求。

Answer 2

能啊，由f(x)在负无穷到正无穷上以T为周期，且连续，那么在一个周期内是连续的，可以只讨论一个周期（包括端点），假设周期是（a，b），在（a，b）内是连续的，令c=a+和d=b-，则在[c,d]内连续且有界(l连续函数在闭区间有界)，现在讨论a点和b点，由于是周期函数，又连续，有f(t+a+)=f(b)=f（b-），所以b点有界，a点也类似可证。还可以从邻域上进行严格证明，思维类似。