Question

一个....概率问题？

在某处看到的一个很奇怪的问题。

一个人流落到一个荒岛上，他只有一个收信机，会有人给他发送搜救信号。
获救的唯一条件是：收信机在开机状态下接到搜救信号。
但是收信机只能维持开机 200小时。这里假设开关机都在整点进行。

搜救信号的发送方法是，第一天，每小时会有2%的几率发送信号，第二天每小时4%的几率，以此类推。但是信号发送20次都未被接受（收信机关机）的话，将不再进行搜救。

问题：此人应该如何分配开机时间，才能将自己获救失败的几率降至最低？

获救失败，即错过20次信号，或者在此之前收信机没电了。

谢谢解答！
不好意思没说清楚，信号几率是等差增长，2% 4% 6% ....

Answer 1

这问题好猥琐。。。我试试看。
首先，200小时折合8天零8个小时。
设此人分配开机时间时，没电的时候他已经失踪x小时。未开机（x-100）小时，他分配的开机100小时只有在概率尽可能大的时候，即最后100小时才能使获救失败几率降至最低。
1、当x∈[100，119]时，没电之前，他不可能错过20次信号。要使最后100小时概率最大，则x=119，获救失败几率=0.98^5*（0.96*0.94*0.92*0.90*0.88*0.86*0.84*0.82）^24*0.80^3……一
2、当x属于[120，+∞]时，∵他在最后100小时开机,∴前(x-100)可能错过20次，当x=124时
错过几率为C(24,20)0.02^20*0.98^4+C(24,21)0.02^21*0.98^3+...+0.02^24……二
而没电时未获得信号的概率为（0.96*……*0.82）^24*0.80^8……三
一-三，得（0.96*……0.82）^24*0.8^3(0.98^5-0.8^5)
这个式子。。。粗略算一下，好像比二式要大。。。所以说x>124,而在x>124时，计算就非常繁琐了。。。。。。。。。。。。。。如果你有毅力，希望你能算下去，这数字真是太猥琐了

Answer 2

首先，200小时折合8天零8个小时。
第一天，每小时会有2%的几率发送信号,这一天发送信号的几率是0.02*24=0.48
第二天，每小时会有4%的几率发送信号,这一天发送信号的几率是0.04*24=0.96
第三天，每小时会有8%的几率发送信号,这一天发送信号的几率是0.08*24=1.92
第四天，每小时会有16%的几率发送信号,这一天发送信号的几率是0.16*24=3.84
第五天，每小时会有32%的几率发送信号,这一天发送信号的几率是0.32*24=7.68
第六天，每小时会有64%的几率发送信号,这一天发送信号的几率是0.64*24=15.38
0.48+0.96+1.92+3.84+7.68+15.38=30.26>20
所以第六天以后几乎不会再进行搜救。
此人应该应一起开机，才能将自己获救失败的几率降至最低

Answer 3

　　我认为这是一个数列和概率的综合题
　　
　　首先确定开机时间：
　　发送20次以内有效，每次开机时间为200/20=10小时，
　　所以每次开机时间应该是10小时，最多能开20天

　　下面分析信号发送几率：
　　第1次2%，每天增2%(每天开机1次)
　　第20次：2%+(20-1)*2%=40%
　　所以确定每天开1次

　　下面分析开机间隔：
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　　间隔1天开1次，概率50%，可以开机40天
　　间隔2天开1次，概率33%，可以开机60天
　　间隔n天开1次，概率1/(n+1)，可以开机(n+1)*20天
　　获救的决定因素是开机20次的数学期望

没时间了，晚上再算

　　

　　
　　
　　

Answer 4

如何分配？连续开200小时，100%收到信号了。。。

Answer 5

你说的那个以此类推是指第三天6%还是8%概率收到信号？ 是等比还是等差的增长？麻烦说清楚

追问

哦哦，抱歉，是6%，等差。

追答

解答如下
假设一开始开机不停机 持续开机时间200小时，在此期间死亡唯一可能为还是等不到信号，概率计算如下
第一天等不到信号概率98%的24次方；
第二天为96%的24次方；
第三天为94%的24次方；

如此类推，第8天84%的24 次方，第9天剩8小时就到200小时，死亡概率为82%的8次方

以上事件依次为下一步骤的接续，应用乘法法则将概率相乘

98%的24次方乘96%24次方乘……84的24次方乘82%的8次方约=2.2乘10的负9次方
死亡概率极低，亦即能在200小时内等到信号的概率接近100% 因此可以放心在一开始就始终保持开机。

此题若将每小时接收信号的概率改为极小，则上述假设死亡概率会大大增加，此时情况会非常复杂，不关机的策略不再可行，20次接受不到信号的条件将会发动，这道题目会真正变为一道非常复杂的概率问题。

Answer 6

肯定几率高的时候发获救机会高咯