Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R).若对任意a∈[-4,+∞],f(x)在x∈[0,2]上单调递增，

求b的取值范围。 求解析求方法。 不要抄袭的

Answer 1

函数f(x)=x³+ax²+bx+a²的导函数为
　　f'(x)=3x²+2ax+b
对任意
a∈[-4,+∞]，f(x)在x∈[0,2]上单调递增
即
对任意a∈[-4,+∞]及x∈[0,2]
导函数
　f'(x)=3x²+2ax+b≥0
若x=0则
b≥0
若x≠0则
a≥-(1/2)(3x+b/x)
即
-4≥-(1/2)(3x+b/x)
即
3x+b/x≥8
分离变量得
b≥-3x²+8x
∵ x∈(0,2]
∴ -3x²+8x≤-3(4/3)²+8(4/3)=16/3
故b的取值范围为b∈[16/3，+∞)
欢迎追问、交流！

Answer 2

仅供参考
f`(x)=3x^2+2ax+b
a∈[-4,+∞],f(x)在x∈[0,2]上单调递增
即a∈[-4,+∞],f`(x)在x∈[0,2]恒>=0
f`(x)=3x^2+2ax+b的对称轴
x=-a/3<=4/3
当-a/3<0时
x=0，f`(x)有最小值
f`(0)=b>=0
当0<=-a/3<=4/3时
x=a/3，f`(x)有最小值
f`(-a/3)=-a^2/3+b>=0
b>=a^2/3
0<=-a/3<=4/3
a^2/3<=16/3
b>=16/3