Question

如何证明(x^n-1/x^n)^2=n^2(x-1/x)^2

Answer 1

作为等式的话明显是不能成立的.
倒是可以证明不等式(x^n-1/x^n)² ≥ n²(x-1/x)².

实际上有等式: x^n-1/x^n = (x-1/x)(x^(n-1)+x^(n-3)+...+x^(3-n)+x^(1-n)).
只需证明(x^(n-1)+x^(n-3)+...+x^(3-n)+x^(1-n))² ≥ n²
由左端为偶函数, 不妨设x > 0, 并证明x^(n-1)+x^(n-3)+...+x^(3-n)+x^(1-n) ≥ n.

由均值不等式得x^k+x^(-k) ≥ 2, 对k = n-1, n-3,...都成立.
n为偶数时左端的项按此两两配对, n为奇数时左端还有常数项1.
无论奇偶, 都可相加得到x^(n-1)+x^(n-3)+...+x^(3-n)+x^(1-n) ≥ n.
于是不等式得证.

Answer 2

2log(x^n-1/x^n)=2(x-1/x)^2logn
nlogx/(-nlogx)=(x²-2-(1/x)²)logn=-1
????
我假设成立都推不出相等.......