Question

高分奖励！！！中级微观经济学作业题3道，很简单，求大神解答！！！

4.设消费者对(x1，x2 ) 的效用函数是U= min（ x1 , x2 ）， X1 价格为1， X2 的价格为1，消费者的收入是m =100。
（1）计算当P1从1 变到1/2 时对X1需求的变化。
（2）计算该变化的Slutsky 替代效应和收入效应
5.消费者对(x1，x2 ) 的效用函数是拟线性的（quasi-linear utility function） U = x1 + ln x 2，
x1的价格为1， X2 的价格为P2，消费者的收入是m 。
（1）求X1，X2的需求函数。
（2）当收入至少为多少时，增加收入不会增加对X2 的消费。
6.设一个人做两期决策，第一期工作，第二期退休，工作的净收入是10000 元，退休期
的退休金为收入的60％。用C1代表第一期的消费开支，用C2 代表第二期的消费开支，她的跨期效用函数是U = c1c2 。
（1）假定有银行可以提供存贷款服务，存贷款利率是10％。问她两期的消费分别是多少？
（2）假定没有这种金融服务，也没有其他投资渠道，问她两期的消费分别是多少？她的效用比第一种情形高还是低。

Answer 1

4.解（1）u=min（x1，x2）,显然x1与x2是互补品，且消费比例是1：1；初始的预算约束为x1+x2=100,显然，初始均衡为（x1，x2）=（50，50），u=min（x1，x2）=50。当x1的价格由1下降到0.5时，预算约束为0.5x1+x2=100，根据1：1的消费比例，得到x1=x2=200/3,新的均衡点为（x1，x2）=（200/3，200/3），u=200/3，△x1=+16.7.
（2）斯勒茨基分解以保持原来的消费水平不变化为前提，那么，通过初始均衡点做出预算补偿线，可以发现，与补偿线“相切”的无差异曲线就是原来的无差异曲线，因此完全互补条件下的斯勒茨基分解，没有替代效应，只有收入效应。因此TE(x1)=IE(x1)=16.7,SE(x1)=0.
5.解（1）做消费者最优规划：max u=x1+lnx2,s.t. x1+p2x2≤m，x1，x2≥0,构造拉格朗日辅助函数：L=x1+lnx2+t(m-x1-p2x2),这一规划的库恩-塔克条件为：
[1]L1=1-t≤0,x1≥0,x1*L1=0
[2]L2=(1/x2)-tp2≤0,x2≥0,x2*L2=0
[3]Lt= m-x1-p2x2≥0，t≥0，t*Lt=0
根据多多益善的假定，收入应当花完，因此[3]Lt=0，因此预算约束应当是紧的：t〉0；根据函数的定义：x2>0，那么L2=(1/x2)-tp2=0，所以库恩-塔克条件就化简为如下两种情形：
第一：x1=0,x2>0,t>0,那么：L1=1-t≤0，L2=(1/x2)-tp2=0，Lt= m-x1-p2x2=0，得到需求函数x1=0，x2=m/p2，t=1/m，并且满足参数条件：0<m≤1；
第二：x1>0.x2>0.t>0,(此时就是存在内点解得情况)，得到x1=m-1，x2=1/p2，t=1，并且满足参数条件m>1.
（2）由（1）得到，当收入较低时，只消费x2，当收入较高时，两种商品都消费，临界值为1.在较高收入水平上，x2的消费时固定的，为1/p2，因此当收入至少为1时，收入的增加不会引起x2消费的增加
6.解（1）：做跨期最优规划：max u=c1c2，s.t. (1+r)c1+c2=(1+r)m1+m2，这里m1=10000，m2=6000，r=10%，假定消费价格为1.由于不能不消费，即c1,c2>0，因此仅有内点解；得到c1=8500/1.1≈7727.3，c2=8500.
（2）做法同上，但是r=0，c1=c2=8000.显然u(7727.3,8500)>u(8000,8000)。效用降低了，