Question

x,y,z是实数,并且满足x+y+z=0,xyz=2,求|x|+|y|+|z|的最小值.

Answer 1

x+y+z=0,xyz>0

所以有两个负数
假设x<0,y<0,z>0
-x-y=z
则原式=-x-y+z=2z

xyz=2
2z=4/xy=4/(-x)(-y)

-x>0,-y>0
所以(-x)(-y)<={[(-x)+(-y)]/2}²=z²/4
所以1/(-x)(-y)>=4/z²
则2z>=16/z²
z³>=8
z>=2
所以原式=2z>=4
所以
x=y=-1,z=2,最小值是4

Answer 2

易知x,y,z中有一个正，两个负，
不妨设x<0,y<0,z>0
则所求式子可以化为z-(x+y)=2z
又z=2/(xy)>=2/[(|x|+|y|)/2]^2=8/z^2
即z^3>=8,所以z>=2
所以原式=2z>=4
当且仅当x=y=-1,z=2时取等号
最小值是4