Question

均值定律的问题！！！！急求大神！！

根据均值定律 [F(b)-F(a)]/[G(b)-G(a)]=F'(c)/G'(c) c∈(a,b), 同样的f(x) 也是一个连续函数在[a,b]，并且可在[a,b]求导，请使用均值定律来证明
f(x)=f(c)+(x-c)f '(c)+[[(x-c)^2]/2]*f ''(d) 且 d ∈(c,x).提示 F(x)=f(x)-f(c)-f ' (c)(x-c) 并且G(x)=(x-a)^2

初步的想法就是F(x)=[[(x-c)^2]/2]*f ''(d)，但是接下来就不太懂了，希望有大神解答啊！！

Answer 1

结论陈述清楚是这样的:
对任意t∈(a,b), 存在d∈(a,t)使f(t) = f(a)+f'(a)(t-a)+f"(d)·(t-a)²/2.

提示已经说得比较清楚了.
取F(x) = f(x)-f(a)-f'(a)(x-a), G(x) = (x-a)².
可验证F(a) = G(a) = 0, F'(a) = G'(a) = 0, F"(x) = f"(x), G"(x) = 2.

对任意t∈(a,b), 在区间(a,t)上对F(x)与G(x)使用Cauchy中值定理:
存在e∈(a,t)使F'(e)/G'(e) = (F(t)-F(c))/(G(t)-G(a)) = F(t)/G(t).

再在区间(a,e)上对F'(x)与G'(x)使用Cauchy中值定理:
存在d∈(a,e)使F"(d)/G"(d) = (F'(e)-F'(a))/(G'(e)-G'(a)) = F'(e)/G'(e).

∵F"(x) = f"(x), G"(x) = 2,
∴f"(d)/2 = F"(d)/G"(d) = F'(e)/G'(e) = F(t)/G(t).
∴f(t) = f(a)+f'(a)(t-a)+F(t) = f(a)+f'(a)(t-a)+f"(d)G(t)/2 = f(a)+f'(a)(t-a)+f"(d)·(t-a)²/2.
即所求证.

这里的a也可换成(a,b)内的任意一点c.
只要取F(x) = f(x)-f(c)-f'(c)(x-c), G(x) = (x-c)², 其余步骤类似将a换成c.