Question

数列an满足sn=2n-an (1)计算a1,a2,a3,a4 (2) 并猜想通项公式an,并用数学归纳法证明

高二数学

Answer 1

(1)a1=1,
a2=3/2,
a3=7/4,
a4=15/8
(2)猜想：an=(2^n)-1/2^(n-1)
证明
(1)当n=1时
S1=a1=2*1-a1，解的a1=1, a1=2^1-1/2^(1-1)=1
1=1,所以当n=1时，等式成立
（2）假设当n=k时
ak=2k-Sk=(2^k)-1/2^(k-1)，等式成立
当n=k+1时
ak+1=2*(k+1)-Sk+1
ak=2k-Sk
上式减下式得ak+1=1/2*(2+ak)
把ak=(2^k)-1/2^(k-1)带入得到
ak+1=(2^k+1)-1/2^k，k∈正整数
综合（1）（2）可得，证得an=(2^n)-1/2^(n-1)，n∈正整数

Answer 2

把a1代入式子a1=s1=0.5同样把a2a3a4分别代入式子也可以求得aaa。s2=a1 a2 s3=a1 a2 a3 s4=a1 a2 a3 a4通式根据四项猜想不难

Answer 3

a1=1,a2=3/2,a3=7/4,a4=15/8
an=(2^n)-1/2^-1