Question

已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn

已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

Answer 1

由题意设数列{an}公差为d（d≠0）
已知a1=1，那么：a3=a1+2d=1+2d，a13=a1+12d=1+12d
由于a1，a3，a13成等比数列，所以：
a3²=a1*a13
即(1+2d)²=1*(1+12d)
1+4d+4d²=1+12d
4d²-8d=0
d(d-2)=0
由于d≠0，所以解得：d=2
则数列{an}的通项公式：an=a1+(n-1)*d=1+2(n-1)=2n-1
.
若bn=2an，则：bn=4n-2
可知数列{bn}是以2为首项，公差为4的等差数列
所以数列{bn}的前n项和：
Sn=n*2+ n(n-1)*4/2=2n+2n(n-1)=2n²

Answer 2

解：（1）设公差为d，则有（1+2d）x（1+2d）=1x（1+12d）
解得d=2，即an=2n-1
（2）有（1）可知bn=2an=4n-2，则b1=2
则Sn=[2+（4n-2)] X n ÷2=2（n）的平方
检查的：bn=2^an
Sn=2+2^3+2^5+.......+2^(2n-1)
4Sn=2^3+2^5+......+2^(2n-1)+2^(2n+1)
相减可得3Sn=2（2n+1）-2
则Sn=[2（2n+1）-2]/3