Question

函数f(x)在[0,1]上连续，（0,1）内可导，且f(0)=0,f(1)=1,f(x)是x的非线性函数，证：在（0,1）内至少存在

至少存在一点m使得f′(m)>1

Answer 1

设 g(x)=f(x)-x, 则 g(0)=0 && g(1)=0; 因为f(x)非线性,所以g(x)也是非线性的. 所以存在(0,1)使得g'(x)>0: g'(x) = f'(x)-1>0

Answer 2

令g=f-x，则g（0）=g（1）=0.则必存在x1在（0,1）上，且g（x1）<0或g（x1）》0.因为g若恒为零，则f=x，与f(x)是x的非线性函数矛盾。不妨令g（x1）》0，根据拉格朗日中值定理存在x2,，g‘（x2）=（g（x1）-g（0））*（x1-0）》0，证毕……