Question

已知:如图,在正方形ABCD中,AB=2,E为边BC延长线上一点,联接DE,BF垂直DE,交DE边于点F ,BF与边CD相交于点G，

联接EG..(1)求证：CE=CG;(2)设CE=X,BF=y，建立y与x之间的函数解析式，并写定义域（3）当点F是DE中点时，求CE长

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°．
∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∴∠GBC+∠DGF=90°，∠CDF+∠DGF=90°，
∴∠GBC=∠CDE，
∵∠BGC+∠GBC=90°，∠CDE+∠DEC=90°
∴∠BGC=∠DEC，
在△BCG和△DCE中，
∠GBC=∠EDCBC=DC∠BGC=∠EDC
∴△BCG≌△DCE（A．S．A）．
∴GC=EC，
即得∠CEG=45°．
（2）在Rt△BCG中，BC=4，BG=2
5
，
利用勾股定理，得CG=2．
∴CE=2，DG=2，即得
BE=6．
∴S△AEG=S四边形ABED-S△ABE-S△ADG-S△DEG
=
1
2
(4+6)×4-
1
2
×6×4-
1
2
×2×4-
1
2
×2×2
=2．
（3）由AM⊥BF，BF⊥DE，易得AM∥DE．
于是，由AD∥BC，可知四边形AMED是平行四边形．
∴AD=ME=4．
由CE=x，得MC=4-x．
∴y=S梯形AMCD=
1
2
(AD+MC)•CD=
1
2
(4+4-x)×4=-2x+16．
即y=-2x+16，定义域为0＜x＜4．

Answer 2