Question

设随机变量X的概率密度为f(x)=1/π(1+x^2),(－∞<x<＋∞),1.求Y=X^2的概率密度fY(y)2.求E(arctanX)

回答呢？？

Answer 1

1.     当y≤0时，F(y)=P(Y<y)=0    f(y)=F'(y)=0

           当y>0时， F(y)=P(Y<y)=P(X^2<y)=P(X<√y)+P(X>-√y)=P(X<√y)+1-P(X≤-√y)

                   f(y)=F'(y)=[1/π(1+y)][1/(2√y)]-[1/π(1+y)][-1/(2√y)]=1/π(1+y)][1/√y]

2.       E(arctanX)=∫(－∞,＋∞)arctanX[1/π(1+x^2)]dx=(1/2π)(arctanX)^2︱(－∞,＋∞)

       =2(1/2π)(π/2)^2=π/4