Question

证明：a，b（∈）R，√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥2ab/(a+b),当且仅当a=b时取到等号

Answer 1

这个命题不成立，如果a，b>0则成立， 如果只是实数，这是一个假命题。
比如 a =2， b= -4
(a+b)/2 = -1
2ab/(a+b)= 8

所以（a+b)/2不会大于 2ab/(a+b)。
如果都是正数这个题是整理的

追问

抱歉啊ab都属于正实数的我忘写了

追答

你采纳别人的，简便方法我就算了

Answer 2

a，b∈R+，
（a²+b²)/2-(a+b)²/4
=(2a²+2b²)/4-(a²+2ab+b²)/4
=(a²-2ab+b²)/4
=(a-b)²/4≥0
当且仅当a=b时，取等号

∴（a²+b²)/2≥(a+b)²/4
∵a，b∈R+
两边开方即
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2 （a=b时，取等号）

∵(a+b)/2-2ab/(a+b)
=(a+b)²/[2(a+b)]-4ab/[2(a+b)]
=[(a+b)²-4ab]/[2(a+b)]
=(a-b)²/[2(a+b)]
∵a>0,b>0
∴(a-b)²/[2(a+b)]≥0
当且仅当a=b时取等号
∴(a+b)/2≥2ab/(a+b ）（当a=b时取等号）

∴a，b（∈）R+，
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥2ab/(a+b)

,当且仅当a=b时取到等号