Question

高一数学：设奇函数f(x)在[-1,1]上单调函数，且有f(-1)=-1,若函数f(x)≤t^2-2at+1对所有

已知函数f(x)是定义在[-1,1]上奇函数，在[-1,1]上单调递增，
（1）解不等式f(x)≤f(2x^2-x);

(2)若有f(-1)=-1,则满足f(x)≤t^2+2at+1对所有的x，a∈[-1,1]都成立，当a∈[-1,1]都成立，t的取值范围。

Answer 1

1、
f(x)≤f(2x^2-x) => x≤2x^2-x，
解不等式，
x≤2x^2-x => 0≤2x^2-2x => 2x^2-2x≥0 => x^2-x≥0 => x * (x-2)≥0 => x≥2 或x≤0
因为-1 ≤ x ≤ 1
合并结果集
-1 ≤ x ≤ 0
2、
第二问有问题,
f(-1)=-1，

因为f(x)是定义在[-1,1]上奇函数，所以f(1) = 1
f(-1)<f(1)
这与f(x)在[-1,1]上单调递增矛盾。

f(-1) = 1,倒有可能。

追问

题中确实是出的f(-1)=-1。
第一问中x * (x-2)≥0 => x≥2 或x≤0，2是哪来的？

追答

sorry，看错了。把单调递增看成单调递减了。
题目没有问题。

1、
f(x)≤f(2x^2-x) => x≤2x^2-x，
解不等式，
x≤2x^2-x => 0≤2x^2-2x => 2x^2-2x≥0 => x^2-x≥0 => x * (x-2)≥0 => x≥2 或x≤0
因为-1 ≤ x ≤ 1
合并结果集
-1 ≤ x ≤ 0
2、
f(-1)=-1，
因为f(x)是定义在[-1,1]上奇函数，所以f(1) = 1
因为f(x)在[-1,1]上单调递增，所以f(x)的最大值=f(1) =1

f(x)≤t^2+2at+1对所有的x，a∈[-1,1]都成立，

则
f(x)最大≤t^2+2at+1
=>
1≤t^2+2at+1 => t^2+2at≥0 => t * (t+2a)≥0 ,

当-2a ≥ 0即a≤0 时 t ≥ -2a ，或t≤0
当-2a ＜ 0即a ＞0 时 t ≥ 0 ，或t≤-2a

追问

第一问中x * (x-2)≥0 => x≥2 或x≤0，“2”是哪来的？

追答

这是一元二次不等式的通用的解集啊。

大于0时，解集是，大于大根，小于小根。

小于0是，解集是两根之间。

追问

可是我觉得应该是这样呀：x^2-x≥0 => x * (x-1)≥0

追答

哦，你是对的。确实是你说的那样。
x^2-x≥0 => x * (x-1)≥0，我写错了。

x * (x-1)≥0 => x≥1 或x≤0
因为-1 ≤ x ≤ 1
合并结果集
x = 1 或，-1 ≤ x ≤ 0