Question

（2012•济南）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O．

（2012•济南）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB为直角三角形，且OA=12AC=1，OB=12BD=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=OA2+OB2=12+(3)2=2．

（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵∠BAE=∠CAFAB=AC=2∠EBA=∠FCA=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE=1/2，BE=3/2．
由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=3/2．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），
∠EGA=∠CGF（对顶角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE与△CFG中，
∵∠EAC=∠GFC∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG，
∴CG/CE=CF/AC，即CG/1/2=3/2/2，
解得：CG=3/8．

Answer 2

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/d9aec4cc-f079-43b1-8853-9bd8a7145d2f

Answer 3

我才上小学