Question

求函数y=sinxcos^2x的最大值 求详细步骤

Answer 1

y=sinxcos^2x=sinx（1-sinxsinx）=-sinx^3+sinx
令t=sinx t属于[-1,1]
故f（t）=-t^3+t
求导得到f'（t）=-3t*t+1
令f'（t）=-3t*t+1>0 得到-√3/3<t<√3/3
令f'（t）=-3t*t+1<0 得到-1<=t<-√3/3或√3/3<t<=1
所以f（t）在[-1,-√3/3]和[√3/3,1]上单调递减，在（-√3/3，√3/3）上单调递增
而f（-1）=0<f(√3/3)=2√3/9
所以f（t）的最大值是f(√3/3)=2√3/9
函数y=sinxcos^2x的最大值是2√3/9

Answer 2

y=sinxcos^2x
=sinx(1-sin^2x)
=sinx-sin^3x
设y=t-t^3 t∈[-1,1]
y'=1-3t^2
令y=0时t=±√3/3
y‘的抛物线图可知
y=t-t^3 在t∈[-1,-√3/3]是减函数
在t∈[-√3/3，√3/3]是增函数
t∈[√3/3，1]是减函数
所以t=√3/3时取最大值=2√3/9

Answer 3

用导数啊,y'=cos^3x-2sin^2xcosx
令y=0时cos^3x-2sin^2xcosx=0
cos^2x=2sin^2x
把这个方程解出来就可以求出原函数取极值时x的值了