Question

如图，求不定积分。（要详细过程，不要直接代公式）谢谢

Answer 1

慢看，两个方法。

第一个：

第二个：

其中一个公式的证明：

Answer 2

由于∫dx/(x²+x+1) (分部积分:）
=x/(x^2+x+1)+∫(2x^2+x)/(x^2+x+1)^2dx
=x/(x^2+x+1)+∫(2x^2+2x+2-x-2)/(x^2+x+1)^2dx
=x/(x^2+x+1)+2∫dx/(x^2+x+1)-(1/2)∫(2x+1)dx/(x^2+x+1)^2-(3/2))∫dx/(x^2+x+1)^2
=x/(x^2+x+1)+2/(√3)arctan[(2x+1)/(√3)]+(1/2)/(x^2+x+1)-(3/2)) ∫dx/(x^2+x+1)^2
于是： ∫dx/(x^2+x+1)^2
=(1/3)(2x+1)/(x^2+x+1)+4/(3√3)arctan[(2x+1)/(√3)]+C
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Answer 3

首先要知道公式∫1/（x^2+1)=tanx+C

∫dx/(x^2+x+1)
=∫dx/[(x+1/2)^2+(√3/2)^2]

=4/3∫dx/[(2x/√3+3/√3)^2+1]
=4/3 tan(2√3x/3+√3/3) +C

追问

被积函数分母上是2次方

追答

不好意思，看错了。

∫dx/(x^2+x+1)^2
=∫d（x+1/2）/（（x+1/2）²+（√3/2）²）²
=（x+1/2）/（3/2（x²+x+1））+2/3∫d（x+1/2）/（（x+1/2）²+（√3/2）²）
=（2x+1）/（3（x²+x+1）+4/（3√3）arctan（（2x+1）/√3）+C

追问

第二个等号是不是用公式了？