Question

直角三角形ABC中，角ACB=90°,AC=5,BC=20／3,将三角形ABC绕着点C逆时针旋转α(

直角三角形ABC中，角ACB=90°,AC=5,BC=20／3,将三角形ABC绕着点C逆时针旋转α(0＜α＜180°)，得到三角形A'B'C,当三角形AA'C的面积等于25√3／4时，停止旋转，直线AB交直线A'B'于P,则此时AP= 急急急急

Answer 1

S三角形AA'C=（AC*AC'*sinα）/2=5*5*sinα/2=25√3／4，sinα=√3／2，所以α=60°或α=120°；
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，点B为（20/3，0），点A为（0，5）；所以
直线AB为：y=5-3x/4，斜率k=-3/4，设直线A'B'的斜率为k’，则：arctgk'=arctgk+α，
即：k'=（k+tgα）/（1-ktgα），将α=60°和α=120°分别代入，得：k'=（4√3-3）/（3√3+4）或
k'=（4√3+3）/（3√3-4）；直线AB到原点C的距离为：h=√5^2/（k^2+1）=4，设直线A'B'的解析式为：y=k'x+b，则其到原点C的距离：h‘=√b^2/（k’^2+1）=h=4，将k'代入解得：
b=40/（3√3+4）和b=40/（3√3-4），解方程组：y=5-3x/4，y=k'x+b；得P点坐标，再算出AP的距离，你自己去算吧。

Answer 2

直角三角形ABC中，角ACB=90°，AC=5，BC=20／3；
由勾股定理，可得：AB=25／3；
三角形AA'C的面积等于25√3／4，
由A'向AC做垂线A'D，交AC于D，则
S△AA'C=AC×A'D÷2 = 5A'D/2 =25√3／4
故：A'D=5√3／2
A'C=AC=5
在△A'CD中，
由勾股定理，可得：CD=5／2；
sinα=A'D/A'C=√3／2，
0＜α＜180°
故：α=60° 或 α=120°
α=120°时，A'B'与AB不相交，故不考虑。
（如果允许A'B'与AB各自做延长线相交，则α=120°也是要考虑的解。）
下面仅对α=60° 求解。
把△ABC放在笛卡尔坐标系中，使C点与原点O重合、AC与y轴重合、AB与x轴重合，
则A点坐标为(0，5)，B点坐标为(20／3，0)，
设P点坐标为(Px，Py)，
P点旋转前的对应点为Q，则Q点也在AB上，且AQ=A'P、BQ=B'P、CP=CQ、∠PCQ=α=60°；
故△CPQ为正三角形。
AP／Px＝AB／BC，从而：AP=5Px／4
因此只要求出P点横坐标Px，就能求出AP了。
注意到P为直线CB'与直线AB的交点，
∠B'CB=∠PCQ=α=60°，故直线CB'的斜率为√3，则
CB'的方程为：y=√3x
AB的方程为：y=5-3x/4
联立两方程，解得：
x=20(4√3-3)／39
即：Px=20(4√3-3)／39
从而，AP＝5Px／4＝25(4√3-3)／39。