Question

∫∫∫Ω√x^2+y^2+z^2dv,Ω是由球面x^2+y^2+z^2=z所围成的区域?用球面坐标变换求上述三重积分。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

x² + y² + z² = z <--> x² + y² + (z - 1/2)² = (1/2)⁵
--> r = cosφ
∫∫∫ √(x² + y² + z²) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/2) sinφ dφ ∫(0→cosφ) r³ dr
= 2π • ∫(0→π/2) sinφ • (1/4)[ r⁴ ] |(0→cosφ)
= (π/2) • ∫(0→π/2) sinφ(cos⁴φ) dφ
= (- π/2)(1/5) • [ cos⁵φ ] |(0→π/2)
= (- π/10) • (0 - 1)
= π/10

追问

第一条公式等号右边应该是（1/2)^2吧，那么请问如何确定φ的取值范围为0~π/2的呢？如果可以的话，可以给出相应的积分区域图吗？谢谢.....

追答

对，是x² + y² + (z - 1/2)² = (1/2)²，写成这样形式能确定圆心位置和φ的变化范围

将区域向zox面投影就行了