Question

已知函数f（x）=1/x-alnx，a∈R

1.当a=-1,试确定函数在其定义域内的单调函数
2.求f（x）在（0,e】内的最小值

Answer 1

f'(x) = -1/x² - a/x = -(ax + 1)/x²
(1) a = -1
f'(x) = (x - 1)/x² = 0
x = 1
0 < x < 1: f'(x) < 0, 递减
x > 1: f'(x) > 0, 递增

(2)
(i) a = 0
f(x) = 1/x, 递减
在(0, e]内的最小值: f(e) = 1/e

(ii) a > 0
f'(x) = -(ax + 1)/x² = 0
x = -1/a < 0
f'(x) 在(0, e]内 < 0
在(0, e]内的最小值: f(e) = 1/e - alne = 1/e - a

(iii) a < 0
f'(x) = -(ax + 1)/x² = 0
x = -1/a > 0
x < -1/a: f'(x) < 0
x > -1/a: f'(x) > 0
如果-1/a > e: 在(0, e]内的最小值 = f(e) = 1/e - a
如果0 < -1/a < e: 在(0, e]内的最小值 = f(-1/a) = 1/(-1/a) - aln(-1/a) = -a + aln(-a)

Answer 2

你的老子姓李，你姓什么呀？

Answer 3