Question

函数项级数与函数序列的一致收敛

1.函数项级数与函数序列的一直收敛有什么不同
2.是不是函数项级数的收敛于s（x），这里的x是变量，然后函数序列收敛，收敛于f（x），这里的f（x）是定值？？
3.上实例 第一例：fn(x)=x^n/(1+x^n)（0=<x<=1）答案说x=1处不一致收敛
第二例：通项为an(x)=nx/(1+n^5*x^2),但是却在正无穷大到付无穷一致收敛
第三例：通项为an(x)=x^n*(1-x),在[0,1]上不一致收敛
我就奇怪了，答案都不给详细说理过程，只说了一个显然，可是为什么呢？？？若按2的推理，第一例与第二例就行得通，可第三例呢？？？求大神指教

Answer 1

1.没有不同。函数项级数的部分和就是函数序列。函数项级数一致收敛就是指部分和序列作为函数序列一致收敛
2. 没看明白你是什么意思。因为两个概念都是一样的。

在讨论一致收敛性的概念时，最重要的是明确是哪个区间上讨论。同样的函数序列，在不同的区间上，是否一致收敛的情况不一样。

第一例：说的不严谨。没有说在某一点处不一致收敛的说法。只能说，fn(x)在区间[0,1]上不一致收敛。又注意到，对于任意的a<1，fn(x)在[0,a]上一致收敛，所以你可以感觉到是"x=1"这个点破坏了一致收敛性。但是无论如何，一致收敛性只能对于某个区间来讨论，无所谓在某一点处不一致收敛的说法（如果只在单点集上，函数肯定是一致收敛的，因为x的取值只有一个点)

第二例，在实轴上一致收敛，没问题。因为n^5*x^2 + 1 >= 2*n^{5/2}*|x|，所以
|an(x)| <= 1/n^{3/2}，但是级数1/n^{3/2}是收敛的，所以函数项级数an(x)的尾项可以被1/n^{3/2}的尾项控制住（所谓“一致”就是指这个“控制”与x无关）

第三例，为简单起见，你要先把an(x)的部分和算出来，即
sn(x) = a1(x) + ... + an(x) = x(1-x^n)
其实你可以看到，sn(x)的一致收敛性就是-x^{n+1}的一致收敛性，而由1的讨论，sn(x)是不一致收敛的（在[0,1]区间上)，所以原函数项级数不一致收敛