Question

请教大神！！定积分在几何上的应用这一节里面遇到极坐标形式的曲线求面积不画图怎么求？

比如 下面这两个题：
求下列各曲线所围成图形的面积：

不画图怎么做这些题？怎么确定积分限？ 再说我也画不出图。

第二小题说由对称性可知所求面积为第一象限部分面积的4倍，这个是怎么来的？是画图看出来的吗？ 不画图能做这样的题吗？

Answer 1

为什么不画图？不画图积分限如何定？提倡要画图。

图形如下：

第1题如左图，直接看出结果为πa^2，第2题为星形线的参数方程，面积应该是3/8πa^2.

如果真不想画图，那就先分析出θ的取值范围，再确定极点位置，代入相应的极坐标公式，就麻烦多了。

（1）∵ρ>=0∴θ在第3，4象限  -π/2<=θ<=π/2  ∵ρ的取值范围为【0，2a】∴极点在边界上

面积=∫[-π/2,π/2]dθ=∫[0,2acosθ]ρdρ

=1/2∫[-π/2,π/2]4a^2cos^2(θ)dθ

=a^2∫[-π/2,π/2](1+cos2θ)dθ

=πa^2-1/2sin2θ|[-π/2,π/2]

=πa^2

(2)从上面右图立即看出对称性，如果真不想画图，就把参数方程化为直角坐标形式的方程：

x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

照样能分析出对称性，然后用二重积分计算出面积。

 

再次忠告您，还是要作图，做多了，就好了，就会感到其乐无穷！

追问

不是不想画啊。。而是不会啊。。我不知道这样的图应该怎么画，你是怎么画出来的呢？

追答

我是用我自己研制的软件画的，其实不用软件照样能画，和直角坐标一样，给一个角，算出一个长度值，在与x轴正方向夹角为该角度的射线上，截得一个点，这样的点多了，就组成了图形。也就是和直角坐标一样，也是计算、列表、描点、用平滑曲线连接。

追问

那sin cos 三次方的那种情况每个点要算一次就够难算的了，这么多点岂不是很复杂了？ 只能用这种描点画图的方法吗？ 没什么简便点的办法吗？ 比如像画一次函数一样，知道x的系数就可以了， 还有圆的方程，可以看出圆心，半径这些直接就可以画

追答

其实，也不用真画，这两个都是常用曲线，《数学手册》、《高等数学》教科书后面的附录中都有函数表达式和图形。使用微分作图也可以，只要知道趋势即可，不必要巴图做得很精确。