Question

已知平面向量a=(cosθ,sinθ),b=(cosx,sinx),c(sinθ,cosθ) 其中0〈θ〈π

且函数(ab)cosx+（bc）sinx的图像过点（π/6，1） （1）求θ的值 （2）将函数y=f(x）图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，将得到函数y=g(x）的图像，求y=g（x)在[0,π/2]上的最大值和最小值

Answer 1

（1）ab=cosθcosx+ sinθsinx=cos(x-θ)
bc=cosx sinθ+ sinx cosθ=sin(x+θ)
则令y=(ab)cosx+（bc）sinx= (cosθcosx+sinθsinx)* cosx+ (cosx sinθ+sinx cosθ)*sinx
=cosθcosx^2+ 2sinθsinx cosx+ cosθsinx ^2
=cosθ(cosx^2+sinx ^2)+ 2sinθsinx cosx
=cosθ+sinθsin2x,
函数过（π/6，1），代入得cosθ+sinθsin（2*π/6）=1，cosθ+sinθ*√3/2=1
cosθ+√(1-cosθ^2)*√3/2=1,√(1-cosθ^2)*√3/2=1- cosθ,
(1-cosθ^2)*3/4=1-2 cosθ+cosθ^2,
7cosθ^2-8cosθ+1=0, (cosθ-1)(7cosθ-1)=0, cosθ=1(舍),cosθ=1/7，
θ=arcos(1/7)≈81.7868°，
sinθ=4√3/7
（2）y=g(x）=1/7+4√3/7*sinx,
当x=0时，y=1/7,是最小值；
当x=π/2时，y= 1/7+4√3/7,是最大值