Question

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+1（x属于R）

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+1（x属于R）
1、若函数f（x）在区间（0,2/3）上递增，在区间[2/3，正无穷）上递减，求a的值
2、当x属于[0,1]时，设函数y=f（x）图像上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a属于（3/2，正无穷）求θ的取值范围
3、在1的条件下，球是否存在实数m，使得函数g（x）=x^4-5x^3+(2-m)x^2+1的图像与函数y=f（x）的图像恰有三个交点，若存在，请求出m的值，若不存在，说明理由

Answer 1

1
f'(x) = -3x^2 + 2ax = x(-3x+2a)
f'(x) =0 有2根
x1=0 x2 =2a/3
所以 2/3 = x2 = 2a/3
a = 1
验证 0 < x < 2/3, x >0 (-3x +2)>0 故有f'(x) >0
f（x）在区间（0,2/3）上递增
x>= 2/3 , x>0 (-3x +2)<= 0 故有f'(x) <=0
f（x）在区间[2/3，正无穷）上递减

2
f'(x) = x(-3x+2a)
0<= 3x <= 3
3/2 *2 < 2*a
所以(-3x+2a) >0 x>0 f'(x) >0
tanθ >0

θ的取值范围 (0, π/2)

3
g(x) -f(x) =
x^4-5x^3+(2-m)x^2+1 - (-x^3+x^2+1)
= x^4 -4x^3 + (1-m)x^2
= x^2(x^2 -4x +(1-m))

因式(x^2 -4x +(1-m))
判别式delta = 16- 4(1-m) = 4(3+m)
当m>-3时x^2 -4x +(1-m) =0 有2根
m=1 时 x^2 -4x +(1-m) =0 有根0和x^2 =0 重根，故m != 1

故存在实数m, -3< m < 1 或 m>1,
函数g（x）=x^4-5x^3+(2-m)x^2+1的图像与函数y=f（x）的图像恰有三个交点