Question

信号与系统微分方程初始条件问题求助

通常先将激励x(t)带入微分方程右端得到自由项，如果自由项是奇异函数，可以用奇异函数平衡法求初始条件。那像X(t)=f(t)u(t)的激励函数是不是奇异函数？（我一直以为它不是奇异函数）微分方程的时间t一般都取t>0,如果X(t)=f(t)u(t)也算奇异函数的话，那岂不是自由项都是奇异函数了（不管是什么函数，我都给他乘个u(t))？还有，如果自由项不含奇异函数，是不是初始条件就等于起始条件？希望各位能解释一下，这个问题我纠结了很长时间了。
我主要是做作业是遇到了一道题目：y"(t)+3y’(t)+2y(t)=x'(t)+3x(t),x(t)=e^(-3t)u(t),y(0-)=1,y'(0-)=2,让你求零输入响应和零状态响应。我将激励看成是普通的函数（就是不考虑u(t))，结果自由项为-3e^(-3t)+3e^(-3t)=0，特解就为0,。在这里我想问一下，求导时是不是u(t)也要算进去？还有，关于自由项是否包含奇异函数，是不是自由项在t=0处时没有跳变就算不包含奇异函数？举个例子，如果自由项就为e^(-3t)u(t)，它在0处有跳变，那他是不是就属于奇异函数？而当自由项为(t^2+2t）u(t)时，就不属于奇异函数？也就是说，是否是奇异函数与自由项中是否存在u(t)没有必然联系，完全就是看在零点是否发生跳变？

Answer 1

您好，我来帮您分析一下：

阶跃函数u(t)严格意义上将是奇异函数，因为它的各种定义都是存在有间断点的，就是不连续的，符合奇异函数的定义。

但往往使用过程中把它当做是一种特殊的连续时间函数，它在信号与系统分析以及电路分析中具有重要作用。在教科书中给出的若干种互有区别的阶跃函数定义，给教学和学生的理解造成了混乱，区别仅仅在于当t=0时的取值，取值有三种，0，0.5，1。你可以百度搜一下”阶跃函数的定义及其在零点的取值“，这篇文章分析得很详细，值得一看。

再来说说您提到的奇异函数平衡法，其实指的是冲激函数系数对应的方法。类似这种的X(t)=f(t)u(t)激励，u(t)仅仅起到了表示作用区间的功能，跟标注t>0或者t≥0是等效的。因此，这里就像你想的，可以不认为它是奇异函数了，仅仅是作用区间。

如果自由项不含奇异函数（特指不含冲激函数）那么初始条件就等于起始条件，或者说。原因是，对方程两端求0-到0+上的积分的时候，右侧激励是连续的，因此积分为0，所以0+=0-。

希望能帮到您，请采纳，谢谢！不明白可以追问，咱们继续探讨。

追问

首先十分感谢你的回答，我会采纳的！由于评论里有字数限制，我把问题补充在了题目中，请看一下对不对，谢谢！

追答

您好，这道题，计算的时候，求导时肯定u(t)也要算进去。

当然，即便算进去，特解也是为0，原因就是含有σ(t)的项，无论系数是多少，在t>0的时候，取值为0，因此，你算特解的时候，其实是不用考虑u(t)的。

但为什么说，计算的时候，求导时u(t)也要算进去呢，原因是用经典法最终求零状态响应的时候，需要确定待定系数，这个时候用到初始条件，因此就要用到你所说的奇异函数平衡法，因为u(t)求导就会产生σ(t)，初始条件肯定就不等于起始条件了。

最后你说的关于自由项是否包含奇异函数，不是看函数本身在t=0处时有没有跳变，而是很简单，就看激励是不是含冲激函数σ(t)，你举例e^(-3t)u(t)和(t^2+2t）u(t)这两个都不包含σ(t)，所以都可以看做不包含奇异函数。但如果求导之后，就不同了，前一项就会有σ(t)，后一项恰巧没有σ(t)。也就是说，判断的应该是，方程右侧的总的激励，此题就是计算x'(t)+3x(t)最终的形式，判断是否包含σ(t)，求导时u(t)要算进去。

此题具体求解时候可以先求y"(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t)，就是只有x(t)作用时的零状态响应，然后利用线性性质求x'(t)+3x(t)作用时的零状态响应，这样就不用纠结激励里面的求导了。不过线性性质求最终结果的时候，求导过程一样还是要把u(t)考虑在内的。

您明白了吗？还不行，咱们继续探讨。呵呵，又打了半个多小时的字。

Answer 2

不大明白 你说的自由项 是啥意思，有些教材并不提到。求特解是不用考虑输入中的u(t)的，但此题不能用经典法求解；奇异函数指 本身有间断点 或其一阶或高阶导数有间断点的函数。微分方程的时间t一般都取t>0，是因为把系统看成因果系统。

求零输入响应和零状态响应，是分开求的，即利用y(0-)=1,y'(0-)=2求零输入响应，默认系统都是因果的，所以零输入响应的表达式适用于 t>=0-的

利用冲激响应h(t)，再利用 x(t)与h(t)卷积即可得到 零状态响应，因为是因果系统，输入是因果信号，零状态响应输出 必然也是因果，即表达式 带上(乘以) u(t)。

全响应则是 上述两者相加，共同的时间范围是 t>0，所以表达式中 一般不带u(t)[说明t<0时恒等于 0]，标出 时间范围 t>0;

至于t=0处，零输入响应 因为无输入，因此必然 连续的，无跳变；
如果将 输入[包含u(t)]代入微分方程 右边，出现冲激(或)其高阶(含一阶)导数，则零状态响应 在t=0处必然是 跳变的；否则零状态响应 在t=0就是连续的

Answer 3

ut不是奇艺函数 ，但是有必要研究它，看它，它反应了跳变。ut也放进去求导是整个时域上的通解，不放进去导话，其实你已经做了一个分段处理。例如exp()
你把exp-3t直接放进去导其实已经分段了，这段是t大于零，t等于小于零，那段由于可能产生跳变，分段求导就会导致漏掉dt项