Question

证明a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b≥a+b+c/2,不要用网上其他人的方法，那些都有漏洞！速度，在线等，好的加分

Answer 1

对a, b, c > 0, 求证: a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b) ≥ (a+b+c)/2?
这算是经典题目了, 方法还是比较多的.

可以用均值不等式:
由a, b, c > 0, 根据均值不等式: a²/(b+c)+(b+c)/4 ≥ 2√(a²/(b+c)·(b+c)/4) = a.
同理b²/(c+a)+(c+a)/4 ≥ b, c²/(a+b)+(a+b)/4 ≥ c.
相加即得a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b) ≥ (a+b+c)/2.

也可以直接用Cauchy不等式:
(a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b))·((b+c)+(c+a)+(a+b)) ≥ (a+b+c)².
故a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b) ≥ (a+b+c)/2.

还可以用排序不等式:
由对称性, 不妨设a ≥ b ≥ c, 则a+b ≥ c+a ≥ b+c.
有(a+b+c)/(a+b) ≤ (a+b+c)/(c+a) ≤ (a+b+c)/(b+c), 故c/(a+b) ≤ b/(c+a) ≤ a/(b+c).
于是a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b)是a ≥ b ≥ c与a/(b+c) ≥ b/(c+a) ≥ c/(a+b)的顺序积.
由排序不等式, a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b) ≥ ba/(b+c)+cb/(c+a)+ac/(a+b),
a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b) ≥ ca/(b+c)+ab/(c+a)+bc/(a+b).
相加得2(a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b)) ≥ a(b+c)/(b+c)+b(c+a)/(c+a)+c(a+b)/(a+b) = a+b+c.
即a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b) ≥ (a+b+c)/2.

不清楚你看到过哪些方法, 以上方法应该都是没漏洞的 (在a, b, c > 0条件下).
如果有疑问, 或者认为有漏洞, 请追问.