Question

设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1 1.求证：

设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1
1.求证：f（x）在R上是减函数
2.解不等式f（x²）f（2x-3）＞1

Answer 1

证明：
（1）令m>0，n=0，则有：f(m+0)=f(m)*f(0)=f(m)，因为0<f(m)<1，所以f(0)=1
令m>0，n>0，则：m+n>m>0，0<f(n)<1
所以：0<f(m+n)=f(m)*f(n)<f(m)<1
所以x>0时f(x)是减函数。

令m<0，则-m>0，0<f(-m)<1
f(-m+m)=f(-m)f(m)=1
所以：f(m)=1/f(-m)>1
令n<0，则有：m+n<m<0，f(n)>1
f(m+n)=f(m)*f(n)>f(m)>1
所以x<0是f(x)是减函数。

综上所述f(x)在R上是减函数。

（2）f(x^2)f(2x-3)>1
即有：f(x^2)f(2x-3)=f(x^2+2x-3)>1=f(0)
因为f(x)在R上是减函数，所以：
x^2+2x-3<0
解得：-3<x<1

追问

为什么f(x^2)f(2x-3)=f(x^2+2x-3)？

追答

因为f(m+n)=f(m)f(n)啊
令x^2=m，2x-3=n就可以了啊