Question

证明每一个闭集是可数个开集的交集

请给出详细证明

Answer 1

这里的空间大概是标准拓扑的R^n吧.

对任意闭子集S, 定义U(k) = ∪{x∈S} B(x,1/k), 其中k为正整数.
即以S中各点为球心, 1/k为半径的开球之并.
任意多个开集之并仍是开集, 因此U(k)是开集. 此外易见S ⊆ U(k).
考虑这可数个开集之交T = ∩{1 ≤ k} U(k), 显然有S ⊆ T.

下面证明T ⊆ S.
对任意y∈T, 则y∈U(k), 对任意正整数k成立.
由U(k)的定义, 存在xk∈S, 使得y∈B(xk,1/k).
即y与xk的距离 < 1/k, 也即xk∈B(y,1/k).
于是S中的点列{xk}收敛到y, 由S为闭集, 有y∈S.
因此T ⊆ S.

故S = T, 为可数个开集之交, 证毕.

注: 这个结论在一般拓扑空间中是不一定成立的.
例如R上赋予余有限拓扑, 单点集虽然是闭集, 但不是可数个开集之交.
以上面的证明来说, 需要拓扑空间满足T3分离公理和C1可数公理.