Question

请问一道三角函数题

△ABC中，面积S=（1/4)x(b2+c2),则角B大小为？求解，详细过程，谢谢！

Answer 1

没必要用三角函数做

设BC＝a，在三角形ABC的BC边上做一垂直线，

设垂直线长度为h，把BC边分成x和y两段，

则面积S=(xh+yh)/2

同时由勾股定理可得

x²+h²=b²，y²+h²=c²

由题可得 S=(b²+c²)/4=(x²+y²+2h²)/4

又S=(xh+yh)/2

所以，(x²+y²+2h²)/4＝(xh+yh)/2

化简得，(x-h)²+(y-h)²=0

由非负性可得 x-h=y-h=0

即，x=y=h

所以，BC边的高将三角形分为两个等腰直角三角形

所以，三角形ABC为等腰直角三角形

所以，三角形的三内角依次为

∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°

所以，∠B为45°

Answer 2

解：
S=½absinC=(1/4) (b²+c²）
正定理弦得
2sinAsinBsinC=sin²B+sin²C
sinA[cos(B-C)-cos(B+C)]=½(2-cos2B-cos2C)【积化和差，二倍角公式】
sinA[cos(B-C)-cos(B+C)]=1-cos(B+C)cos(B-C)【和差化积】
sinAcos(B-C)+sinAcosA=1+cosAcos(B-C)
(sinA-cosA)cos(B-C)+sinAcosA-1=0
2(sinA-cosA)cos(B-C)+2sinAcosA-2=0
令t=sinA-cosA，则2sinAcosA=1-t²
于是2cos(B-C)t-t²-1=0
cos(B-C)=½([t+1/t）≥2√t*1/t=1【均值不等式】
∴B=C t=1
即sinA-cosA=1
解得A=90° B=C=45°
所以角B大小为45°。