Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=c(cosA+cosB)

（1）判断三角形ABC的形状
（2）若角C的对边c=1.求该三角形面积S的取值范围

Answer 1

（1）判断三角形ABC的形状
用余弦定理的公式，把角关系转化为边的关系，可以解决此问题
因为c*(cosA+cosB)=c[(b²+c²-a²)/2bc+(a²+c²-b²)/2ac]=(b²+c²-a²)/b+(a²+c²-b²)/a=a+b
所以 a(b²+c²-a²)+b(a²+c²-b²)/a=2(a+b)ab
化简得 a(c²-a²)+b(c²-b²)=ab²+a²b (a+b)c²-(a³+b³)=ab(a+b)
两边同时除以a+b得 c²-(a²-ab+b²)=ab c²=a²+b²
所以 C是直角

（2）若角C的对边c=1.求该三角形面积S的取值范
a^2+b^2=1>=2ab,ab<=1/2,

S=1/2ab<=1/4

Answer 2

（1）a=bcosC+ccosB b=acosC+ccosA 代入，得cosC(a+b)=0,所以cosC=0 是直角三角形。
（2）a^2+b^2=c^2
S=1/2*a*b=<1/4
范围是(0,1/4]

Answer 3

直角三角形
s=1