Question

一道初中数学题

Answer 1

（1）BM+CN>MN
(2)证明：延长ND，使DG=ND，连接BG,,MG
因为点D是BC的中点
所以BD=CD
因为角BOG=角CON
所以三角形BOG和三角形CON全等（SAS)
所以BG=CN
角OBG=角C
所以BG平行AC
所以角A+角ABG=180度
因为角A=90度
所以角ABG=90度
由勾股定理得：
MG^2=DM^2+BG^2
所以MG^2=BM^2+CN^2
因为MD垂直ND
所以角MDN=角MDG=90度
因为MD=MD
ND=DG
所以三角形MDN和三角形MDG全等(SAS)
所以MN=MG
所以BM^2+CN^2=MN^2
(3)证明：延长AD，使DH=AD ,连接BH ，延长ND与BH相交于G
因为点D是BC的中点
所以BD=CD
因为角BDH=角ADC
所以三角形BDH和三角形CDA全等(SAS)
所以BH=AC
角DBH=角C
所以BH平行AC
所以角DBG=角C
角DGB=角DNC
BD=CD
所以三角形BDG和三角形CDN全等（AAS)
所以BG=CN
ND=DG
因为MD垂直ND
所以MD垂直平分NG
所以MG=MN
角MDN=90度
由勾股定理得：
MN^2=MD^2+DN^2
所以MG^2=MD^2+DN^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BG^2=MG^2
所以角MBG=90度
因为角MBG=角ABH
所以角ABH=90度
由勾股定理得：
AH^2=AB^2+BH^2
(2AD)^2=AB^2+AC^2
4AD^2=AB^2+AC^2

Answer 2

证明：延长ND，使ND=NE，连接BE,ME
因为D是BC的中点
所以BD=DC
因为角BDE=角NDC
所以三角形BDE和三角形CDN全等（SAS)
所以BE=CN
在三角形BEM中
BE+BM>ME
因为MD垂直ND
MD=ME
所以MD是NE的垂直平分线
所以MN=ME
所以BM+CN>MN
因为角A=90度
所以角ABC+角C=90度
因为三角形BDE和三角形CDN全等（已证）
所以角DBE=角C
BE=CN
因为角MBE=角ABC+角DBE
所以角MBE=90度
所以三角形BME是直角三角形
所以ME^2=BM^2+BE^2
因为MN=ME（已证）
所以BM平方+CN平方=MN平方