Question

已知F1、F2分别是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心

已知F1、F2分别是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，丨OF1丨为半径的圆上，则双曲线C的离心率为

A。根号三 B。3 C。根号二 D。2

求详细解答

Answer 1

Answer 2

c^2=a^2+b^2,F1(-c,0),F2(c,0),渐近线之一为y=b/a*x,F2关于渐近线的对称点设为P(x1,y1),PF2方程为y=-a/b*(x-c),与渐近线交点为(a^2/c,ab/c)
则(x1+c)/2=a^2/c,y1/2=ab/c,x1=(2a^2-c^2)/c,y1=2ab/c
PF1=c,(x1+c)^2+y1^2=c^2,4a^4/c^2+4a^2*b^2/c^2=c^2,4a^4+4a^2*b^2=c^4=(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2*b^2+b^4,
3a^4+2a^2*b^2-b^4=0,
(3a^2-b^2)(a^2+b^2)=0,
3a^2-b^2=0,
3a^2=b^2,
则双曲线离心率=√(a^2+b^2)/a=√(4a^2)/a=2
选D