Question

把积分化为极坐标形式

Answer 1

积分域D：由直线y=x，x=a，及x轴所围得平面域；将此平面域换成极坐标形式，则是：
0≦r≦a/cosθ，0≦θ≦π/4；
故原式=【0，π/4】∫dθ【0，a/cosθ】∫r²dr=【0，π/4】∫dθ[r³/3]【0，a/cosθ】
=【0，π/4】(a³/3)∫(1/cos³θ)dθ=【0，π/4】(a³/3)∫sec³dθ=【0，π/4】(a³/3)∫secθd(tanθ)
=【0，π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫tanθd(secθ)]=【0，π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫secθtan²θdθ]
=【0，π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫secθ(sec²θ-1)dθ=【0，π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫sec³θdθ+∫secθdθ]
【移项，得：】
【0，π/4】(2a³/3)∫sec³dθ=【0，π/4】(a³/3)[secθtanθ+∫secθdθ]
=(a³/3)[secθtanθ+ln(secθ+tanθ)]【0，π/4】=(a³/3)[√2+ln(√2+1)]
故原式=【0，π/4】(a³/3)∫sec³dθ=(a³/6)[√2+ln(√2+1)]

Answer 2

(2)原式=∫<0,π/4>dθ∫<0,a/cosθ>r^dr
=(1/3)∫<0,π/4>(a/cosθ)^3*dθ
=(a^3/3)∫<0,1/√2>dt/(1-t^)^
=(a^3/12)∫<0,1/√2>[1/(1+t)+1/(1-t)+1/(1+t)^+1/(1-t)^]dt
=(a^3/12)[ln(1+t)-ln(1-t)-1/(1+t)+1/(1-t)]|<0,1/√2>
=a^3/12*{ln[(1+1/√2)/(1-1/√2)]+2√2}
=a^3/6*[ln(1+√2）+√2]，
其中t=sinθ.