Question

导数 高二数学 已知f(x)是定义在R上的可导函数.若函数F(x)=xf(x),满足F'(x)>0对x∈R恒成立

则下面四个结论中，所有正确结论的序号是
1. f(1)+f(-1)>0
2. f(x)≥0对x∈R恒成立
3. f(x)可能是奇函数
4. f(x)一定没有极值点

Answer 1

F(x) =xf(x)
F'(x) >0 , F(x) is increasing
F(1) -F(-1)
=f(1)+f(-1) >0
Ans:1

Answer 2

F'(x)=xf‘（x)+f(x)>0
（2）正确例如f（x）=x^2+1
F(1)=f(1)
F(-1)=f(-1)
因为F'(x)>0对x>0恒成立，所以F(x)在0到正无穷大上单调递增
又因为1>-1
所以F(1)-F(-1)>0
即f(1)+f(-1)>0;（1）正确
若f（x)为奇函数，则f(1)+f(-1)=0与f(1)+f(-1)>0矛盾，所以（3）也错误
(4)显然错误，例如f（x）=1而f（x）=1有极值