Question

初一数学题，要过程，急！！

已知:如图∠MON=90°,与点O不重合的两点A、B分别在OM、ON上,BE平分∠ABN,BE所在的直线与∠OAB的平分线所在的直线相交于点C。
（1）当点A、B分别在射线OM、ON上，且∠BAO=45°时，求∠ACB的度数。 （2）当点A、B分别在直线OM、ON上的运动时，∠ACB的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，求出∠ACB的范围。
重分酬谢！

Answer 1

⑴当∠BOA=45°时，∠ABN=135°，
∵BE、AC分别平分∠ABE、∠OAB，
∴∠BAC=1/2∠OAB=22.5°，∠ABE=1/2∠ABN=67.5°，
又∠ABE=∠ABC+∠C，
∴∠C=∠ABE-∠BAC=45°。
⑵设∠BAC=α，则∠OAB=2α，
∴∠ABN=90°+2α，
∴∠ABE=1/2∠ABN=45°+α，
又∠ABE=∠BAC+∠C，
∴45°+α=α+∠C，
∴∠C=45°，
即∠C的大小保持不变，始终为45°。

追问

您好！不应该是角BAO=45°吗？为什么您写的是BOA，这里我不懂。

追答

对不起，写错了，就是已知条件中的∠OAB=45°。

追问

那角ABN是怎么求出来等于135°的呢？

追答

∠ABN是ΔOAB的外角，∠ABN＝∠AOB+∠OAB＝135°，
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角）。
或∠OBA＝45°，∴∠ABN＝135°。

追问

我们还没学（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角）。。。所以。还有其他方法求吗？

追答

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角平息三角形的内角和，用同位角和代替，略为麻烦。

⑴当∠BAO=45°时，∵∠MON＝90°，∴∠OBA＝45°，
∴∠ABN=135°，
∵BE、AC分别平分∠ABE、∠OAB，
∴∠BAC=1/2∠OAB=22.5°，∠ABE=1/2∠ABN=67.5°，
∴∠ABC＝180°-∠ABE＝112.5°，
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°。
⑵设∠BAC=α，则∠OAB=2α，
∴∠ABN=90°+2α，
∴∠ABE=1/2∠ABN=45°+α，
∴∠ABC＝180°-∠ABE＝135°-α，
∴∠C＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-（135°-α）-α＝45°，
∴∠C=45°，
即∠C的大小保持不变，始终为45°。

Answer 2

(1)∵∠NOM＝90°，
又∵∠BOA＝45°，
∴∠OBA＝45°。
∵BE平分∠ABN，
∴∠BAC＝½∠OAB＝22.5°。
∵B在射线NO上，
∴∠NBO＝180°
∴∠ABN＝∠NBO－∠NOB＝135°，
∵BE平分∠ABN
∴∠NBE＝67.5°
∴∠CBO＝67.5°﹙对顶角相等﹚
∵∠CBA＝∠ABO﹢∠CBO＝112.5°
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝45°

(2)设∠BAC=x，则∠OAB=2x，
∴∠ABN=90°+2x，
∴∠ABE=1/2∠ABN=45°+x，
∴∠ABC＝180°-∠ABE＝135°-x，
∴∠C＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-（135°-x）-x＝45°，
∴∠C=45°，
即∠C的大小保持不变，始终为45°。

Answer 3

∠NBA=∠NOA+∠BAO
=90+∠BAO
∠EBA=1/2∠NBA
=45+1/2∠BAO
=45+∠BAC
又因为∠EBA=∠C+∠BAC
所以∠C恒=45°

追问

没看懂，第二问呢？

追答

因为∠1+∠4=180   ∠2+∠3+∠4=180

所以∠1=∠2+∠3

 

这个定理知道么

第二问 和第一问一样   和A，B两点的运动没关系  是恒等于45°的

追问

那第2问的证明过程怎么写？

追答

我上面那个就可以当做第二问的答案

因为没有用到∠BAO=45°这个条件
也就是说不管∠BAO是否为45° 不管∠BAO是多少度 都不会影响∠C=45°这个结论

第一问如果给想用到∠BAO=45°这个条件的话 因为△OAB是直角三角形
根据内角和公式 能把图中所有的角都求出来 你可以自己做下 中间那个点你没有标字母 我不好写

这题的意图应该是第一问 给了特殊值45° 让你把所有角的度数算出来 再求∠C
第二问 用证明的方法

Answer 4

（1）：∠ACB=45度
（2）要变，∠ACB小于180度，大于0度