Question

一道不等式问题，求解

下面不等式我不会做，跪求解答：已知正实数a,b,c满足a+b+c=3，求证：
a²/(a+b²) + b²/(b+c²) + c²/(c+a²) ≥ 3/2

Answer 1

a²/（a+b²）+b²（b+c²）+c²/（c+a²）+（a+b²）/4+（b+c²）/4+（c+a²）/4
≥a+b+c【添项配凑法】【系数有技巧】
于是a²/（a+b²）+b²（b+c²）+c²/（c+a²）≥（3a+3b+3c）/4-（a²+b²+c²）/4
=9/4-（a²+b²+c²）/4
因为a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3=3【这个用柯西不等式证】
于是-（a²+b²+c²）≤-3/4
于是9/4-（a²+b²+c²）/4≥9/4-3/4=3/2
以上所有等号都在a=b=c=1时取得，所以
a²/(a+b²) + b²/(b+c²) + c²/(c+a²) ≥ 3/2成立

追问

因为 -（a²+b²+c²）/4 ≤ -3/4
所以 9/4-（a²+b²+c²）/4 ≤ 9/4-3/4=3/2
你的符号反过来了，是 ≤，不是 ≥，所以这样证是不行的

变成这样了：
a²/(a+b²) + b²/(b+c²) + c²/(c+a²) ≥ 9/4 - (a²+b²+c²)/4 ≤ 3/2
我也是遇到这个问题

追答

是的。柯西换位也是这个情况。我记得以前做过。你可以去数学竞赛吧发帖。会得到完解。该有不少人做过

追问

谢谢 XD