Question

如图，抛物线Y=X²-2X-2交X轴于A，B两点，顶点为C，经过A，B，C三点的圆的圆心为M。

（1）求圆心M的坐标；（2）求○M上劣弧AB的长；（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC和MD互相平分？若存在，求出点D的坐标，若不存在请说明理由。

Answer 1

⑴令Y=0代入Y=X^2-2X-2得，X=1±√3，
∴A(1-√3，0)，B(1+√3，0)，
Y=(X-1)^2-3，∴顶点坐标C(1，-3)，圆心在对称轴X=1上，
设对称轴X=1与X轴交于N(1，0)，
根据题意：MC=MB，∴BN^2+MN^2=MC^2，3+MN^2=(3-MN)^2，MN=1，
∴M(1，-1)。
⑵tan∠BMN=BN/MN=√3，∴∠BMN=60°，∴∠BMA=120°，
又圆半径BM=√(MN^2+BN^2)=2，
∴劣弧AB长：1/3*2π*2=4/3π。
⑶∵BN∥CD，BN=CD=√3，∴D(1-√3，-3)，
∴AD∥Y轴，∴D不在抛物线上。

Answer 2