Question

已知函数fx=ax²-e的x次方

（1）当a=1时试判断f(x)的单调性（2）若f(x)有两个极值点x1x2(x1<x2)
求实数a的取值范围，并证明-e的一半<f(x1)<-1

Answer 1

因为f(x)=ax²-e^x

所以f′(x)=2ax-e^x

(1)
当a=1时，f′(x)=2x-e^x

所以f″(x)=2-e^x

当x>ln2时，f″(x)<0，f′(x)单减
当x<ln2时，f″(x)>0，f′(x)单增

所以f′(x)=2x-e^x≤2ln2-e^ln2=2ln2-2<0

所以f(x)单调递减

(2)
当a<0时，f′(x)=2ax-e^x=0只有一根
当a=0时，f′(x)=2ax-e^x=0无解
当a>0时，
因为x≤0时，f′(x)<0恒成立
所以x1>0，x2>0
在x>0时令f′(x)=2ax-e^x=0
得a=(e^x)/(2x)

令g(x)=(e^x)/(2x)
所以g′(x)=[(e^x)/(2x²)](x-1)
所以在0<x<1时，g′(x)<0，g（x)单减
在x>1时，g′(x)>0，g(x)单增
所以g′(x)>e/2
所以a>e/2

因为f′(x1)=2a(x1)-e^(x1)=0
所以2a(x1)=e^(x1)
所以f(x1)=[（x1）/2]e^(x1)-e^(x1)
=[(x1-2)/2 ]e^x1 【x1我就不打括号了麻烦，相信你能看懂】
因为g(x)的极值点为x=1，0<x1<x2
所以0<x1<1

令h(x)=(x/2-1)e^x，0≤x≤1
所以h′(x)=[(x-1)e^x]/2<0恒成立
所以h(1)<h(x)<h(0)
所以-e/2<h(x)<-1
所以-e/2<f(x1)<-1

这是什么题啊，怎么这么难啊？