Question

一道高中数学题，急求详解

已知（1+x）+（1+x)^2+...+(1+x)^n=a0+a1x++a2x^2+...+anx^n成立，如果a1+a2+a3+...+a(n-1)=29-n,求自然数n的值

Answer 1

对于恒等式，令x=0得到a0=n 再将恒等式退一位，令x=1，得到a0+a1+***+a(n-1)=2+2∧2+***+2∧(n-1)接下来就是等比数列求和，含一个未知数n，就可以求解了。这道题是二项式定理运用中的一类，只是联系了数列，只要掌握了这类运用的解法，就是令x=0求a0,令x=1求a0+***+an,令x=-1求a0-a1+a2-***-a(n-1)+an[n为偶数]，再根据需要将它们作加作减就行，至于再联系一些其它知识，就没什么好怕的了

Answer 2

（1+x）+（1+x)^2+...+(1+x)^n=a0+a1x++a2x^2+...+anx^n
令x=1得：
a0+a1+a2+a3+..........+a(n-1)+an=2+4+....+2^n=2(2^n-1)
∵a1+a2+a3+...+a(n-1)=29-n,
∴a0+an+29-n=2^(n+1)-2

又a0为常数项a0=1+1+.........+1=n (n个1）
只有(1+x)^n展开含x^n,an=1
∴∴n+1+29-n=2^(n+1)-2
∴2^(n+1)=32
∴n+1=5,
∴n=4

Answer 3

令x=1，得2+2^2+2^3+……+2^n=a0+a1+……a（n-1）+an=-2+2^（n+1）（根据等比数列公式）
令x=1，得1+1+1+……=a0=n
由题目可得，anx^n只能由(1+x)^n得来，即an=1
所以a1+a2+a3+...+a(n-1）=-2+2^（n+1）-n-1=29-n
所以2^（n+1）-3=29
2^（n+1）=32
n=4

Answer 4

把X换成1 所以（n-1）×1=29-n所以n=15