Question

设f(x)=ax2+bx+c,当/x/<=1时,总有/f(x)/<=1.求证/f(2)/<=8 要过程详解

Answer 1

解：
f(x)=ax²+bx+c
∵|x|≤1总有|f(x)|≤1
∴令x=1，0，-1，分别得a+b+c ,c , a-b+c三者的绝对值均满足≤1
根据绝对值不等式的性质，得
∵4a+2b+c=3(a+b+c)+(a-b+c)+3(-c)
∴|4a+2b+c|≤3*|a+b+c|+|a-b+c|+3*|-c|≤3+1+3=7<8
∴|f(2)|≤8

追问

4a+2b+c=3(a+b+c)+(a-b+c)+3(-c)是怎么得出来的？

追答

右边去括号就得出来啊。
这样写的目的是前面计算得出a+b+c ,c , a-b+c三者的绝对值均满足≤1，所以构造关于这三项的式子。

追问

哦哦哦，原来是这样啊！！谢谢啦。可是一般怎么才能想到构造式子啊？考试总是栽倒在这样的题型上

追答

一般都是用观察法直接得出序数。如果观察能力欠缺，则常用构造方法为设序数为未知数，然后展开，根据对应项序数相等解方程即可。本题常规构造方法如下：
要构造出a+b+c ,c , a-b+c
设4a+2b+c=x(a+b+c)+y(a-b+c)+zc
则
4a+2b+c=xa+xb+xc+ya-yb+yc+zc=(x+y)a+(x-y)b+(x+y+z)c
根据对应项序数相等得
x+y=4
x-y=2
x+y+z=1
联立解得
x=3
y=1
z=-3

Answer 2

追问

有点看不懂，第一步的式子怎么推出来的？还有其他的转化…………………………谢谢

追答

|x|≤1，即-1≤x≤1
|f(x)|≤1，即-1≤|f(x)|≤1

第一步就是将x=0,1，-1时的值代入，因为这是整数且为特殊值
求得第一步三不等式

第二步就是f（1）=a+b+c①
f（-1）=a-b+c②
f（0）=c③
①-②得f（1）- f（-1）=2b
b=[f（1）- f（-1）]/2
①+②得f（1）+ f（-1）=2a+2c，再将③代入
a=[f（1）+ f（-1）-2 f（0）]/2