Question

解三角形的边的取值范围规律【高中】

我先给出例题吧
1.
2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围为？
我注意到这道题要运用a+(2a+1)>2a+1先得出a>2。再运用余弦定理。cos钝角<0。得出1<a<8

2.
已知锐角三角形的边长分别为2，3，x。求x的取值范围，

与上题不同，如果运用同样的方法求得的值是1<a<5。与标准答案√5<a<√13不符。
我对题目琢磨了一下。
用2∧2+3∧2>x∧2这种余弦定理解三角形的推论才能证出。

我的问题是这样的：两题之间的差异在于锐角和钝角三角形。是不是针对不同类型的三角形用不同的方法呢【就比如上面的，钝角用余弦定理，而锐角用推论。】。因为大家知道高中数学考试时间很紧。我几次考试都是最后两道题目看都没有看。。现在我有120分，所以想方设法省时间。如果它有确切的针对的解题步骤，我就可以减去再核算推演数据真确的时间。。。

Answer 1

其实是这样的，为什么第1例用余弦定理求钝角三角形的时候，结果正确；而第2例求锐角三角形的时候，结果不正确。
首先长边对大角。所以钝角三角形中，最长的边对应最大的角---钝角。在你的第一个例子中，三个边的关系已经确定，是2a+1最大。所以这条边对应的角就必然是钝角。然后根据这个角的余弦就能求出a的范围。而且应该是a>2和1<a<8并集2<a<8。

但是第二例中，x和3的大小关系不确定。所以到底是x边对应的角大，还是3对应的角大不确定。锐角三角形必须三个角都是锐角；也就是说必须最大的角是锐角。所以必须对x对应的边是锐角用余弦定理求一次，对3对应的边用余弦定理也求一次。两次不等式求出来的结果的并集才是所要求的结果。
而如果类似第二例中，边长是2、3、x的钝角三角形，求x的取值范围。那么你如果单纯对x对应的角用余弦定理求，结果也会不正确。因为有可能是3对应的角是钝角。

所以你的总结并不对。第1例结果正确的原因不在于是求的钝角三角形，而在于三个边的大小关系已经确定。第2力之所以错误的原因不在于是求锐角三角形，而在于有两个边3和x的大小关系没确定。

Answer 2

1.首先，运用三角形任意两边之和大于第三边可推出a>2，进而根据cosC=（a*2+b*2-c*2）/2ab结合cos曲线推出3<a<8,所以a的取值范围是：3<a<8
2.同上，首先：运用三角形任意两边之和大于第三边可推出1<X<5，进而根据cosC=（a*2+b*2-c*2）/2ab结合cos曲线可知cosC的取值范围为（0-1），推出√5<X<√13
我认为你可以平时自己定时在规定的时间做一种类型的题，熟练后再在一定时间最好是90分钟完成一套试卷，平时要将每次考试后错误的题重新抄到错题本上，没事翻两遍不用刻意背的，自然而然的就会越来越好！祝高考顺利！

Answer 3

首先根据三角形的边长限制条件得2+3>x,2+x>3.然后再根据是锐角三角形2^2+x^2>3^2,2^2+3^2>2^2解出a的范围，综合两者取交集才是a的范围。其实锐角钝角钝角运用的都是余弦定理，比如已知钝角三角形abc，我们可以很自然地写出必须满足c^2>a^2+b^2.（c^2=b^2+a^2-2ab*cosC，根据C定不等号方向）这个就是余弦定理的推论，与余弦定理是一回事，不过就是对于三角形判断来说比较简洁，但是对于具体的计算来说还是要运用完整的余弦定理的